反常积分判敛

无穷限反常积分收敛的必要条件:

反常积分 \tiny I=\int_{a}^{+\infty } f(x)dx 收敛,则有 \tiny \lim_{x \to +\infty} f(x)=0,即\tiny f(x)是 \tiny x \to +\infty 的无穷小量

证明:

(1)若\tiny \lim_{x \to +\infty} f(x)=\infty  ,根据定积分的定义,积分是发散的。 

(2)若\tiny \lim_{x \to +\infty} f(x)=C(\neq 0) 则\tiny I=\int_{a}^{+\infty } f(x)dx=C\int_{a}^{+\infty }dx=\lim_{x \to +\infty} Cx-Ca=+\infty

(3)从而,必有\tiny \lim_{x \to +\infty} f(x)=0

     

TIp:  反之不成立。 

 

一个结论:

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